题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=-x（x-a）²
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，且方程f（x）+a=0有三个不同的实数解，求a的取值范围．

答案

（1）当a=1时f（x）=-x³+2x²-x，
所以f′（x）=-3x²+4x-1
当x=2时y=-2，所以切点为（2，-2）
所以切线的斜率k=f′（2）=-5．
所以切线方程为5x+y-8=0．
（2）设g（x）=f（x）+a=-x³+2ax²-a²x+a
所以g′（x）=-3x²+4ax-a²=-（x-a）（3x-a）
令g′（x）＜0得
因为a＞0所以x＞a或x＜

a

3

所以g（x）在（-∞，

a

3

），（a，+∞）是单调减函数，在（

a

3

，a）上是单调增函数．
因为方程g（x）=0有三个不同的实数解，
所以只需g（

a

3

）＜0且g（a）＞0即可．
解得a＞

3 3

2

所以a的取值范围为（

3 3

2

，+∞）．