题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处取得极值4，且|a|＜|b|．
（1）求a、b的值，并确定f（1）是函数的极大值还是极小值；
（2）若对于任意x∈[0，2]的时，都有x³+ax²+bx＞c²+6c成立，求c的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+a²∴f"（x）=3x²+2ax+b
由题意可知：f（1）=1+a+b+a²=4，f"（1）=3+2a+b=0
解得：

a=-2 b=1

或

a=3 b=-9

∵|a|＜|b|∴

a=3 b=-9

当a=3，b=-9时，f"（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
当x＞1或x＜-3时f"（x）＞0，函数f（x）单调递增
当-3＜x＜1时f"（x）＜0，函数f（x）单调递减
∴f（1）是函数的极小值
（2）由题意可知，x³+3x²-9x＞c²+6c对于任意x∈[0，2]恒成立
令g（x）=x³+3x²-9x，则g"（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
∴当x＞1或x＜-3时g"（x）＞0，函数g（x）单调递增
当-3＜x＜1时g"（x）＜0，函数g（x）单调递减
∴x=1时函数g（x）取到最小值g（1）=-5
∴只要-5＞c²+6c即可
-5＜c＜-1