题目
题型:广东模拟难度:来源:
(1)求实数a,b的值及f(x)的解析式;
(2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值;
(3)若关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,求实数k的取值范围.
答案
∵f(x)=ax•lnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b
∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a
∵点(e,f(e))在函数f(x)=ax•lnx+b上
∴f(e)=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e,∴a=1
∴b=0,∴f(x)=xlnx;
故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx …(4分)
(2)h(x)=f(x)+f(t-x)=xlnx+(t-x)ln(t-x),h(x)的定义域为(0,t);…(5分)
h′(x)=lnx+1-[ln(t-x)+1]=ln
x |
t-x |
由h′(x)>0得
t |
2 |
t |
2 |
∴h(x)在(
t |
2 |
t |
2 |
∴h(x)min=h(
t |
2 |
t |
2 |
(3)∵xlnx+(6-x)ln(6-x)=f(x)+f(6-x)=h(x)
由(2)知,h(x)min=h(
t |
2 |
t |
2 |
∵关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,
∴ln(k2-72k)≤ln729
∴
|
∴-9≤k<0或72<k≤81…(13分)
故实数k的取值范围为[-9,0)∪(72,81].…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax•lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0(e为自然对数的底).(1)求实数a,b的值及f(x)的解析】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.
| B.
| C.
| D.
|
b |
x |
(I)求a,b满足的关系式;
(II)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(III)证明:1+
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
2n-1 |
1 |
2 |
n |
2n+1 |
|
A.不存在 | B.等于6 | C.等于3 | D.等于0 |
lim |
n→∞ |
1 | ||
|
4π |
3 |
π |
3 |
3 |
4π |
3 |
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