题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数f(x)的极值,
(Ⅱ)已知过点P(1,f(1)),Q(e,f(e))的直线为l,则必存在x0∈(1,e),使曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线l平行,求x0的值,
(Ⅲ)已知函数g(x)图象在[0,1]上连续不断,且函数g(x)的导函数g"(x)在区间(0,1)内单调递减,若g(1)=0,试用上述结论证明:对于任意x∈(0,1),恒有g(x)>g(0)(1-x)成立.
答案
1 |
x |
1-ax |
x |
①若a≤0,f"(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)不存在极值.
②若a>0令f"(x)=0得x=
1 |
a |
当x∈(0,
1 |
a |
当x∈(
1 |
a |
∴f(x)极大值=f(
1 |
a |
综上:当a≤0时,f(x)没有极大值,当a>0时,f(x)极大值=-lna-1.
(Ⅱ)直线l的斜率k=
f(e)-f(1) |
e-1 |
1 |
e-1 |
∵x0∈(1,e),
依题意有f"(x0)=-a+
1 |
e-1 |
1 |
x0 |
1 |
e-1 |
得x0=e-1∈(1,e),
故x0=e-1
(Ⅲ)①f"(x0)=
f(b)-f(a) |
b-a |
f(a)-f(b) |
a-b |
由以上结论得:对区间[0,x]存在x1∈[0,x]使g"(x1)=
g(x)-g(0) |
x-0 |
同样对区间[x,1]存在x2∈[x,1]使g"(x2)=
g(1)-g(x) |
1-x |
-g(x) |
1-x |
依题意得:g"(x1)>g"(x2)即
g(x)-g(0) |
x-0 |
-g(x) |
1-x |
化简得g(x)>g(0)(1-x)成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax.(Ⅰ)求函数f(x)的极值,(Ⅱ)已知过点P(1,f(1)),Q(e,f(e))的直线为l,则必存在x0∈(1,e),使曲线y=】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
lim |
x→-1 |
x2+3x+m |
x+1 |
lim |
x→∞ |
x2+3x+4 |
x+1 |
lim |
n→∞ |
1-2an |
2+an |
π |
2 |
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