题目

题型：不详难度：来源：

已知函数 f（x）=ax+1nx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=l处切线的斜率．
（2）设 g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=ax+1nx（a∈R），
∴当a=2时，f′(x)=2+

1

x

，x＞0，
∴f′（1）=2+1=3，
故曲线在x=1处切线的斜率为3．
（2）∵g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），
∴f（x）_max＜g（x）_max，
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
∴g（x）_max=2．
当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增，在（-

1

a

，+∞）上单调递减，
故f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
∴-1-ln（-a）＜2，
解得a＜-

1

e3

．
故a的取值范围是（-∞，-

1

e3

）．