题目
题型:不详难度:来源:
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)求证:当x∈(0,e]时,e2x-
5 |
2 |
lnx |
x |
答案
2x2+ax-1 |
x |
因为函数f(x)在[1,2]上是减函数,所以f′(x)=
2x2+ax-1 |
x |
令h(x)=2x2+ax-1,有
|
|
7 |
2 |
(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g′(x)=
ax-1 |
x |
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4 |
e |
②当0<
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
∴g(x)min=g(
1 |
a |
③当
1 |
a |
4 |
e |
综上,存在实数a=e2,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3.
(3)证明:由(2)知当a=e2,g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,即g(x)=e2x-lnx≥3
又原不等式成立只须e2x-lnx>
5 |
2 |
lnx |
x |
令F(x)=
5 |
2 |
lnx |
x |
1-lnx |
x2 |
当0<x≤e时,F"(x)≥0,∴F(x)在(0,e]上单调递增
故F(x)max=F(e)=
1 |
e |
5 |
2 |
故当x∈(0,e]时,e2x-
5 |
2 |
lnx |
x |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
(Ⅰ)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;
(Ⅲ)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
ln(-x) |
x |
(1)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+
1 |
2 |
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
2xy |
A.1 | B.2 | C.
| D.2
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1 |
2 |
(I)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(II)若a=2,b=1,若函数k=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数k的取值范围;
(III)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P,Q两点,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
A.y=5x-1 | B.y=5x-5 | C.y=3x-3 | D.y=x-1 |
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