题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a=-1,求证f(x)有且仅有一个零点;
(2)若对于x∈[1,2],函数f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于
π |
4 |
(3)若f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
答案
1 |
x |
-(x-1)(2x+1) |
x |
令f"(x)=0,得x=1,
令f"(x)>0,∵x>0,∴0<x<1;令f"(x)<0,
∵x>0,∴x>1,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)最大值=f(1)=0,
∴f(x)有且仅有一个零点,该零点即为1.---------(4分)
(2)f′(x)=
2ax2-ax+1 |
x |
由f"(x)≤1在x∈[1,2]上恒成立,可得a≤(
x-1 |
2x2-x |
由f"(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,可得a≥(
-1 |
2x2-x |
1 |
6 |
∴-
1 |
6 |
(3)f(x)存在单调递减区间,等价于f′(x)=
2ax2-ax+1 |
x |
记g(x)=2ax2-ax+1,x∈(0,+∞)
当a=0时,g(x)=1,不满足条件;
当a<0时,g(x)为开口向下的二次函数,2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上恒有解;
当a>0时,g(x)为开口向上的二次函数,对称轴为x=
1 |
4 |
1 |
4 |
综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪(8,+∞)
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx+a(x2-x)(1)若a=-1,求证f(x)有且仅有一个零点;(2)若对于x∈[1,2],函数f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角都】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
a+1 |
2 |
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值;
(Ⅲ)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.
3 | x |
lim |
△x→0 |
f(1-△x)-f(1) |
△x |
A.-
| B.
| C.
| D.0 |
1 |
2 |
A.2x+3y+12=0 | B.2x-3y+10=0 | C.2x-y+2=0 | D.2x-y-2=0 |
1 |
2 |
π |
2 |
A.y=0 | B.y=x+1 | C.y=x | D.y=1 |
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