题目
题型:不详难度:来源:
(1)请写出fn(x)的表达式(不需证明);
(2)求fn(x)的极小值;
(3)设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值为a,fn(x)的最小值为b,求a-b的最小值.
答案
猜测出fn(x)的表达式fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*).
(2)由(1)可知,fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*),
∴f′n(x)=(x+n+1)•ex,
令f′n(x)=0,解得x=-(n+1),
∵当x>-(n+1)时,f"n(x)>0,当x<-(n+1)时,f"n(x)<0,
∴当x=-(n+1)时,fn(x)取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1),
即fn(x)的极小值为yn=-e-(n+1)(n∈N*).
(3)∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,
∴当x=-(n+1)时,gn(x)取最大值,即a=gn(-(n+1))=(n-3)2,
又∵b=fn(-(n+1))=-e-(n+1),
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
问题转化为求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值.
解法1(构造函数):
令h(x)=(x-3)2+e-(x+1)(x≥0),
则h"(x)=2(x-3)-e-(x+1),又h(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴h"(x)≥h"(0)=-6-e-1,
又∵h"(3)=-e-4<0,h"(4)=2-e-5>0,
∴存在x0∈(3,4)使得h"(x0)=0,
又h"(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴0≤x<x0时,h"(x0)<0,当x>x0时,h"(x0)>0,
即h(x)在区间[x0,+∞)上单调递增,在区间[0,x0)上单调递减,
∴(h(x))min=h(x0).
又∵h(3)=e-4,h(4)=1+e-5,则h(4)>h(3),
∴当n=3时,a-b取得最小值e-4′.
解法2(利用数列的单调性):
∵cn+1-cn=2n-5+
1 |
en+2 |
1 |
en+1 |
∴当n≥3时,2n-5≥1,
1 |
en+2 |
1 |
en+1 |
∴2n-5+
1 |
en+2 |
1 |
en+1 |
∴cn+1>cn.
∵c1=4+
1 |
e2 |
1 |
e3 |
1 |
e4 |
∴当n=3时,a-b取得最小值e-4.
核心考点
试题【设f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N+).(1)请写出fn(x)的表达式(不需证】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
a |
x |
(1)求实数a,b,c
(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)在[2,m]上的最小值.
x3 |
3 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
A.-3 | B.3 | C.6 | D.9 |
(1)求函数f(x)在[-3,
3 |
2 |
(2)求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程.
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