已知函数f（x）=ax2-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． |
（Ⅰ）∵f（x）=x2-lnx，x∈（0，e]，f′(x)=2x-=，x∈（0，e]，…（1分）
令f′（x）＞0，得＜x＜e，f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）的单调增区间是[，e]，单调减区间为（0，]．…（4分）
f（x）的极小值为f（）=-ln=+ln2．无极大值．…（5分）
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax2-lnx，（x∈[0，e]）有最小值3，
f′(x)=2ax-=…（6分）
①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，
∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3，a=（舍去）…（8分）
②当a＞0时，令f′（x）=0得：x=，
（ⅰ）当0＜＜e即a＞时
f（x）在（0，]上单调递减，在（，e]上单调递增，
∴f（x）min=f（）=-ln=3．得a=．…（10分）
（ⅱ）当≥e即0＜a≤时，
x∈（0，e]时，f’（x）＜0，所以，f（x）在（0，e]上单调递减，
∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3，a=（舍去），此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．…（12分） |
核心考点
试题【已知函数f（x）=ax2-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使f（】；主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 已知函数f（x）=x2+bx+c的图象与x轴相切于点（3，0），函数g（x）=-2x+6，则这两个函数图象围成的区域面积为（ ） |
已知函数f（x）=x2ex．
（1）求f（x）的极值．
（2）求f（x）在区间[t，0]上的最大值和最小值． |
| 设a∈R，若函数y=x3+ax，x∈R有大于零的极值点，则（ ） |
| 设函数f（x）=x3+x2，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程______． |
曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是（ ）| A．x-3y+3=0 | B．x-2y+2=0 | C．2x-y+1=0 | D．3x-y+1=0 |
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