题目

题型：江西省模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-x²+3，x∈[-1，t]（t＞-1），函数g(t)=(t-2)²，t＞-1。
（Ⅰ）当0＜t＜1时，求函数f(x)的单调区间和最大、最小值；
（Ⅱ）求证：对于任意的t＞-1，总存在x₀∈(-1，t)，使得x=x₀是关于x的方程f′(x)=g(t)的解；并就k的取值情况讨论这样的x₀的个数。

答案

解：（Ⅰ）因为，
由或x＜0；由，
所以当0＜t＜1时，f(x)在（-1，0）上递增，在（0，t）上递减，
因为，f(0)=3，，而f(0)＜f(t)＜f(2)，
所以，当x=-1时，函数f(x)取最小值；
当x=0时，函数f(x)取最大值f(0)=3。
（Ⅱ）因为，所以，
令，
从而把问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数。
因为，，
所以 ①当t＞5或-1＜t＜2时，，所以p(x)=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
②当2＜t＜5时，p(-2)＞0且p(t)＞0，但由于，所以p(x)=0在（-2，t）上有解，且有两解；
③当t=2时，或x=2，所以p(x)=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
④当t=5时，或x=3，
所以p(x)=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3；
综上所述, 对于任意的t＞-1，总存在，满足，且当t≥5或-1＜t≤2时，有唯一的适合题意；当2＜t＜5时，有两个适合题意。