题目
题型:广东省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y= f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数h(x)=(p-2)x--3,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
答案
当a>0时,函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是;
当a<0时,函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是;
当a=0时,函数f(x)=-3是常数函数,无单调区间。
(Ⅱ)由,
∴,,
故,
∴,
∵函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值,
∴ 函数g′(x)在区间(t,3)上总存在零点,
又∵函数g′(x)是开口向上的二次函数,且g′(0)=-2<0,
∴,
由,令,则,
所以,H(t)在[1,2]上单调递减,所以,;
由,解得;
综上得:,
所以当m在内取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值。
(Ⅲ)∵a=2,∴,
令,
则,
①当p≤0时,由x∈[1,e]得,从而F(x) <0,
所以,在[1,e]上不存在x0,使得;
②当p>0时,,
∴在[1,e]上恒成立,
故F(x)在[1,e]上单调递增,
∴
故只要,解得,
综上所述,p的取值范围是。
核心考点
试题【已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y= f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=1时,求函数f(x)的最值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)试说明是否存在实数a(a≥1)使y= f(x)的图象与y=+ln2无公共点。
(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上的最大值;
(3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围。
①对于任意a∈(0,+∞),函数f(x)是D上的减函数;
②对于任意a∈(-∞,0),函数f(x)存在最小值;
③存在a∈(0,+∞),使得对于任意的x∈D,都有f(x)>0成立;
④存在a∈(-∞,0),使得函数f(x)有两个零点;
其中正确命题的序号是( )(写出所有正确命题的序号)
(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)设m,n∈R+,且m≠n,求证:。
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)证明:。
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