题目
题型:湖北省高考真题难度:来源:
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a>0,g(x)=(a2+)ex,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-f(ξ2)<1|成立,求a的取值范围。
答案
由f′(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则f′(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x,
令f′(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,
由于x=3是极值点,所以x+a+1≠0,那么a≠-4,
当a<-4时,x2>3=x1,
则在区间(-∞,3)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(3,-a-1)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(-a-1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当a>-4时,x2<3=x1,则在区间(-∞,-a-1)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(-a-1,3)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=-(2a+3)e3<0,f(4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6],
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,
所以只须仅须(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0<a<,
故a的取值范围是(0,)。
核心考点
试题【设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点,(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设a>0,g(x)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)讨论f(x)的极值。
(1)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围。
(1)证明:当t<时,g(x)在R上是增函数;
(2)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(3)证明:。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围。
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