题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）。
（1）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[1，+∞）上的最小值。

答案

解：（1）证明：当a=2时，f（x）=x²-2lnx，
当x∈（1，+∞）时，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数。
（2）
当a≤0时，f"（x）>0，
f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1
若a>0，当时，f（x）单调递减；
当时，f（x）单调递增，
若，即0＜a≤2时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
又f（1）=1，故函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为1
若，即a>2时，f（x）在上单调递减；
在上单调递增
又
故函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为
综上，当a≤2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为1；
当a>2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为。