题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=（x+1）lnx．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设，对任意x∈（0，1），g（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），
∵，
∴f "（1）=2，且切点为（1，0）
故f（x）在x=1处的切线方程y=2x﹣2．
（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），
所以．
①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．
②当a＞0时，x∈（0，1），由g（x）＜﹣2，得 lnx+．
设，则x∈（0，1），h（x）＜0.
．
设m（x）=x²+（2﹣4a）x+1，方程m（x）=0 的判别式△=16a（a﹣1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h"（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，
又h（1）=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1﹣a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0，对任意x∈（x₀，1），m（x）＜0，
h"（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上是减函数，
又h（1）=0，所以x∈（x₀，1），h（x）＞0．
综上，实数a的取值范围是（0，1]．