题目
题型:江苏月考题难度:来源:
(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)求函数y=f(|sinx|)的值域.
答案
即存在x∈R,使得ax2﹣2x﹣2>0,
当a>0时,满足要求;
当a=0时,满足要求;
当a<0时,△>0,解得
综上得,
(2)f(x)=exg(x)=ex(ax2﹣2x﹣2)
∴f"(x)=(ex)"(ax2﹣2x﹣2)+ex(ax2﹣2x﹣2)"
=ex(ax2﹣2x﹣2)+ex(2ax﹣2)
=ex [ax2+(2a﹣2)x﹣4]
设|sinx|=t,(0≤t≤1),则转化为求函数y=f(t),(0≤t≤1)的值域.
当a=0时,f"(x)=﹣2ex(x+2)<0,此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a﹣4)e,﹣2]
当a<0时,
此时函数f(t)在[0,1]上为减函数,
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a﹣4)e,﹣2]
当a>0时,
令f"(x)=0,解得或x=﹣2(舍).
当x变化时,f(x)与f"(x)的变化情况如下表:
若,即0<a≤2时,函数f(t)在[0,1]上为减函数.
∴函数f(t)的值域为[f(1),f(0)],即[(a﹣4)e,﹣2]
若,即a>2时,函数f(t)在上递减,在上递增
∴
函数f(t)在[0,1]上的最大值为f(0)与f(1)中的较大者
∵f(0)=﹣2,f(1)=(a﹣4)e,
∴f(1)﹣f(0)=(a﹣4)e+2
∴当时,f(1)>f(0),
此时ymax=f(1)=(a﹣4)e;
当时,f(1)=f(0),此时ymax=f(0)=f(1)=﹣2;
当时,f(1)<f(0),此时ymax=f(0)=﹣2
综上,当a?2时,函数f(|sinx|)的值域为[(a﹣4)e,﹣2];
当时,函数f(|sinx|)的值域为;
当时,函数f(|sinx|)的值域为.
核心考点
试题【已知函数f(x)=exg(x),其中g(x)=ax2﹣2x﹣2. (1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;(2)求函数y=f(|sinx|】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数y=f(x)的表达式及其定义域;
(2)设g(x)=x3+3a2x+2a(x∈[0,1]).若对任意的,总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
(1)求函数y=f(x)的表达式及其定义域;
(2)设g(x)=x3+3a2x+2a(x∈[0,1]).若对任意的,总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
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