题目

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设，，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；
（2）设g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]）．若对任意的，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）因为
又，
所以
又M，G，N三点共线，所以=3
解之得：
（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则AB，
因为，在上单调递减，
所以
因为g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]），
所以g"（x）=3x²+3a²≥0恒成立，所以g（x）在[0，1]上单调递增，
所以B=[2a，3a²+2a+1]，
从而
解得：或0
所以a的取值范围是