题目

题型：江苏月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}
f（﹣x）=（﹣x）²ln|﹣x|=x²lnx=f（x）
∴f（x）为偶函数
（Ⅱ）当x＞0时，
若，则f"（x）＜0，f（x）递减；
若，则f"（x）＞0，f（x）递增．
递增区间是和；
递减区间是和．
（Ⅲ）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，
即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f"（x）=x·（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f"（a）（x﹣a），
将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f"（a）（﹣a）
即a²lna+a²﹣1=0（*）
显然，a=1满足（*）
而当0＜a＜1时，a²lna+a²﹣1＜0，
当a＞1时，a²lna+a²﹣1＞0
∴（*）有唯一解a=1此时k=f"（1）=1
再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，
则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．