题目

题型：山东省月考题难度：来源：

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α﹣β|的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f"（x）=0的根，
又∵f"（x）=3x²+2bx+c，
∵f"（0）=0，
∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，
又∵f"（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤﹣3，
又d=﹣8﹣4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=﹣8﹣4b且b≤﹣3，
∴f（1）=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x﹣α）（x﹣2）（x﹣β）=x³﹣（α+β+2）● x²﹣2αβ；
∴
|β﹣α|² =（α+β）²﹣4αβ=（b+2）² +2d
           =b² +4b+4﹣16﹣8b=b²﹣4b﹣12=（b﹣2）²﹣16
又∵b≤﹣3，
∴|β﹣α|≥3