题目

题型：高考真题难度：来源：

若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数。
已知函数h（x）=（λ＞-1，p＞0）。
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=（n∈N₊）时h（x）的中介元为x_n，且S_n=，若对任意的n∈N+，都有S_n＜，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。

答案

解：（1）函数h（x）是补函数，证明如下：
①h（0）==1，h（1）==0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（）==a
③令g（x）=（h（x））p，
有g′（x）=
=，
因为λ＞1，p＞0，
所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，
故h（x）在（0，1）上是减函数由上证，函数h（x）是补函数。
（2）当p=（n∈N*），由h（x）=x得，
（i）当λ=0时，中介元x_n=，
（ii）当λ＞-1且λ≠0时，由（*）得=∈（0，1）或=∈（0，1），
得中介元x_n=，
综合（i）（ii）：对任意的λ＞-1，中介元为x_n=，
于是当λ＞-1时，有S_n===，
当n无限增大时，无限接近于0，S_n无限接近于，
故对任意的非零自然数n，S_n＜等价于，
即λ∈[3，+∞）。
（3）当λ=0时，h（x）=，中介元为．
（i）0＜p≤1时，，中介元为≤，
所以点（x_p，h（x_p））不在直线y=1-x的上方，不符合条件；
（ii）当p＞1时，依题意只需＞1-x在x∈（0，1）时恒成立，
也即x^p+（1-x）^p＜1在x∈（0，1）时恒成立
设φ（x）=x^p+（1-x）^p，x∈（0，1），
则φ′（x）=p（x^p-1-（1-x）^p-1）
令φ′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，
当x∈（，1）时，φ′（x）＞0，
又φ（0）=φ（1）=1，
所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立
综上，p的取值范围是（1，+∞）。