题目

题型：不详难度：来源：

（（本题满分15分）长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足．（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点．

答案

解：（I）设
由得即
又由得即为点的轨迹方程．……5分
（II）当的斜率不存在时，直线与曲线相切，不合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即
联列方程得
设，
则   ……………7分
则的方程为
与曲线C的方程联列得
则
所以  ……………9分
直线的方程为
令，则
．………………………11分


．
从而．即直线与直线交于定点．………15分

解析

略