题目

题型：淄博一模难度：来源：

已知函数f（x）=lnx-

a

x

（a∈R）
（1）讨论f（x）在[1，e]上的单调性；
（2）若f（x）＜x在[1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

a+x

x2

．
①当a≥-1，因为1≤x≤e，所以x+a≥0，此时f"（x）≥0，所以f（x）在[1，e]上为增函数．
②当a≤-e时，因为1≤x≤e，所以x+a≥0，此时f"（x）≤0，此时f（x）在[1，e]上为减函数．
③当-e＜a＜-1时，令f"（x）=0得x=-a．于是当1≤x≤-a时，f"（x）≤0，所以函数f（x）在[1，-a]上为减函数．
当-a≤x≤e时，f"（x）≥0，所以函数f（x）在[-a，e]上为增函数．
综上可知，当a≥-1时，f（x）在[1，e]上为增函数．当a≤-e时，f（x）在[1，e]上为减函数．
当-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上为减函数，在[-a，e]上为增函数．
（Ⅱ）由f（x）＜x，得lnx-

a

x

＜x，因为x≥1，所以a＞xln⁡x-x²
令g（x）=xln⁡x-x²，要使a＞xln⁡x-x² 在[1，+∞）上恒成立，只需a＞g_max⁡（x）即可．
g"（x）=lnx-2x+1=lnx-（2x-1），分别作出函数y=lnx和y=2x-1的图象如图．由图象可知当x≥1时，lnx＜2x-1．
此时g"（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，所以g（x）的最大值为g（1）=-1，所以a＞-1，即a的取值范围是（-1，+∞）．