题目
题型:不详难度:来源:
1-x |
ax |
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值;
(3)求证:对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
答案
1-x |
ax |
∴f′(x)=
1 |
x |
1 |
ax2 |
x-
| ||
x2 |
∵函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
∴当x≥1时,f′(x)≥0恒成立,即
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
解得a≥1.即为所求的取值范围.
(2)(i)由(1)可知:当a≥1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,
∴当x=1时,函数f(x)取得最小值,且f(1)=0.
(ii)当0<a≤
1 |
2 |
1 |
a |
∴当x=2时,函数f(x)取得最小值,且f(2)=ln2-
1 |
2a |
(iii)当
1 |
2 |
1 |
a |
令f′(x)=0,则x=
1 |
a |
当1<x<
1 |
a |
1 |
a |
∴当x=
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
(3)由(1)可知:令a=1,则函数f(x)=lnx+
1-x |
x |
再令x=
n+1 |
n |
1 |
n |
1 |
n |
n+1 |
n |
1 |
n+1 |
∴ln(n+1)-lnn>
1 |
n+1 |
∴lnn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)]>
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
即lnn>
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx+1-xax,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内调递增,求a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间[1,2]】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为
π |
4 |
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.
(1)当a=2时,求f(x)的零点;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的[1,a]上的最小值和最大值;
(3)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
x+1 |
x-1 |
x2-1 |
(Ⅰ)若 a>0,且f(x)的极大值为5,极小值1,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,-
1 |
2 |
1 |
3 |
m |
2 |
(Ⅰ)当m≥4时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)是否存在m<0,使得对任意的x1,x2∈[2,3]都有f(x1)-g(x2)≤1?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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