已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论；（2）对任意n≥a，证明f - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：杭州二模难度：来源：

已知常数a＞0，n为正整数，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数f_n（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）

答案

（1）f_n（x）在（0，+∞）单调递减，理由如下：
f_n′（x）=nx^n-1-n（x+a）^n-1=n[x^n-1-（x+a）^n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴f_n′（x）＜0，
∴f_n（x）在（0，+∞）单调递减．（4分）
证明：（2）由上知：当x＞a＞0时，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是关于x的减函数，
∴当n≥a时，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ＜nⁿ-（n+a）ⁿ（2分）

又∴f′n+1(x)=(n+1)[xn-(x+a)n]，

∴f′n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]＜(n+1)[nn-(n+a)n]

=(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1](2分)

（n+1）f′_n（n）=（n+1）n[n^n-1-（n+a）^n-1]=（n+1）[（nⁿ-n（n+a）^n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′_n+1（n+1）＜（n+1）f′_n（n）（2分）

核心考点

试题【已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论；（2）对任意n≥a，证明f】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知向量

=(x2，y-cx)，

=(1，x+b)，

∥

，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求

和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[

，a2]上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A，B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t），若P为S（t）上一动点，D（4，0），求直线PD的斜率的取值范围．

题型：眉山二模难度：| 查看答案

函数f（x）=x³-3x²的单调递减区间为（　　）

A．（-∞，0）

B．（0，2）

C．（2，+∞）

D．（-∞，0）∪（2，+∞）

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=x³+x²+ax+b．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

若命题P：函数f（x）=x³-ax-2在区间（1，+∞）内是增函数；则命题P成立的充要条件是（　　）

A．a∈（-∞，3]

B．a∈（-∞，9]

C．a∈（-1，∞）

D．a∈（-∞，3）

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

题型：桂林模拟难度：| 查看答案

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