题目

题型：西城区二模难度：来源：

设函数f（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；
（Ⅱ）记曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

答案

（Ⅰ）由已知g（x）=e^x-ex，
所以g"（x）=e^x-e，…（1分）
由g"（x）=e^x-e=0，得x=1，
所以，在区间（-∞，1）上，g"（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减；
在区间（1，+∞）上，g"（x）＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；                      …（4分）
即函数g（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）因为f"（x）=e^x，
所以曲线y=f（x）在点P处切线为l：y-ex0=ex0(x-x0)．…（6分）
切线l与x轴的交点为（x₀-1，0），与y轴的交点为(0，ex0-x0ex0)，…（8分）
因为x₀＜0，所以S=

1

2

(1-x0)(1-x0)ex0=

1

2

(1-2x0+

x

20

)ex0，
∵S′=

1

2

ex0(

x

20

-1)，
∴在区间（-∞，-1）上，函数S（x₀）单调递增，在区间（-1，0）上，函数S（x₀）单调递减．…（10分）
所以，当x₀=-1时，S有最大值，此时S=

2

e

，
所以，S的最大值为

2

e

．…（12分）