题目

题型：不详难度：来源：

数列a_n中，a₁=t，a₂=t²，其中t≠0且t≠1，x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明：数列a_n+1-a_n是等比数列；
（2）求a_n．

答案

（1）证明：∵f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1∴f"（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
根据已知f′(

t

)=0，即ta_n-1-（t+1）a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），当t≠1时，数列a_n+1-a_n是等比数列．（6分）
（2）由于a₂-a₁=t²-t=t（t-1），所以a_n+1-a_n=（t-1）tⁿ．
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁=（t-1）t^n-1+（t-1）t^n-1++（t-1）t+t=(t-1)×

t(1-tn-1)

1-t

+t=tn．
所以数列a_n的通项公式a_n=tⁿ．（12分）