题目
题型:辽宁难度:来源:
(Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>0,求b的取值范围.
答案
(Ⅰ)当a=1时,f"(x)=3x2+2bx-3;
由题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3=0的两根,所以|x1-x2|=
| ||
3 |
由|x1-x2|=2,得b=0.(4分)
从而f(x)=x2-3x+1,f"(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
当x∈(-1,1)时,f"(x)<0;当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f"(x)>0.
故f(x)在(-1,1)单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增.(6分)
(Ⅱ)由①式及题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根,
所以|x1-x2|=
| ||
3a |
由上式及题设知0<a≤1.(8分)
考虑g(a)=9a2-9a3,g′(a)=18a-27a2=-27a(a-
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3 |
故g(a)在(0,
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3 |
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4 |
3 |
又g(a)在(0,1]上只有一个极值,所以g(
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3 |
2
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3 |
核心考点
试题【设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2.(Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.当a=2时,已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的伴随切线l的方程;
(Ⅲ)设g(x)=
a+2e |
x |
f(x) |
x |
(1)若f(x)是偶函数,求θ、b应满足的条件;
(2)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上是“弱增函数”,求实数b的范围.
(3)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上不是“弱增函数”,求实数b的范围.
1 |
3 |
(1)若不等式f(x)<k-2005对于x∈[-2,3]恒成立,求最小的正整数k;
(2)令函数g(x)=f(x)-
1 |
2 |
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设a>
1 |
e2 |
x |
a |
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