题目
题型:不详难度:来源:
1+ln(x+1) |
x |
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(2)若当x>0时,f(x)>
k |
x+1 |
答案
1+ln(x+1) |
x |
∴f′(x)=
1 |
x2 |
x |
x+1 |
1 |
x2 |
x |
x+1 |
由x>0,x2>0,
x |
x+1 |
因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(2)解法一:当x>0时,f(x)>
k |
x+1 |
又k为正整数.则k的最大值不大于3.
下面证明当k=3时,f(x)>
k |
x+1 |
即证明x>0时(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,
则g′(x)=ln(x+1)-1.
当x>e-1时,g′(x)>0;当0<x<e-1时,g′(x)<0.
∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0.
∴当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.
因此正整数k的最大值为3.
解法二:当x>0时,f(x)>
k |
x+1 |
即h(x)=
(x+1)[1+ln(x+1)] |
x |
即h(x)(x>0)的最小值大于k.
由h′(x)=
x-1-ln(x+1) |
x2 |
则Φ′(x)=
x |
x+1 |
∴Φ(x)在(0,+∞)上连续递增.
又Φ(2)=1-ln3<0,Φ(3)=2-2ln2>0,
∴Φ(x)=0存在惟一实根a,且满足:a∈(2,3),a=1+ln(a+1),
由x>a时,Φ(x)>0,h′(x)>0;0<x<a时,Φ(x)<0,h′(x)<0知:
h(x)(x>0)的最小值为h(a)=
(a+1)[1+ln(a+1)] |
a |
因此正整数k的最大值为3.
核心考点
试题【已知函数f(x)=1+ln(x+1)x.(x>0)(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;(2)若当x>0时,f(x)>kx+1】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(1)若m=1,求函数y=f(x)的单调递减区间;
(2)若函数y=f(x)(x∈(0,3])的图象上任意一点处切线的斜率k≤2恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在[1,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.
a |
x |
(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3 |
2 |
1 |
3 |
(1)求函数f(x)的单调递增区间、递减区间;
(2)当x∈[-1,2]时,求函数的最值.
(I)若m=3,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(II)若函数f(x)在(-∞,0)上有两个极值点.
①求实数m的范围;
②证明f(x)的极小值大于e.
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