题目

题型：不详难度：来源：

已知定义在（1，+∞）上的函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程．

答案

（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（1，+∞），
f"（x）=x²-ax=x（x-a），
当a≤1时，在（1，+∞）上f"（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增；
当a＞1时，在（1，a）上f"（x）＜0，在[a，+∞）上f"（x）＞0，
所以f（x）在（1，a）单调递减，在[a，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）当a=2时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f"（x）=x²-2x，
∴f"（3）=3²-2×3=3，f(3)=

1

3

×33-32+1=1，
所求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-1=3（x-3）即3x-y-8=0．