已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（I）若存在实数k和t，使得x=a+（t2-3）b，y=-ka+b，且x⊥y，试求函数的关系式k=f（t）；（ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：湖南模拟难度：来源：

已知平面向量

=（

，-1），

=（

，

）．
（I）若存在实数k和t，使得

+（t²-3）

，

=-k

，且

⊥

，试求函数的关系式k=f（t）；
（II）根据（I）结论，确定k=f（t）的单调区间．

答案

（I）∵

，-1)，

，

)
∴|

|=2，|

|=1，

•

-1×

=0
∴

⊥

∵

⊥

，∴

•

=0
即-k|

|2+t(t2-3)|

|2=0，
∴t³-3t-4k=0
即k=

t3-

t

（II）由（I）知，k=f（t）=

t3-

t，
∴k′=

t2-

(t+1)(t-1)
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜0或t＞1
故k=f（t）的单调递减区间是[-1，1]；
单调递增区间是（-∞，-1]，[1，+∞）．

核心考点

试题【已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（I）若存在实数k和t，使得x=a+（t2-3）b，y=-ka+b，且x⊥y，试求函数的关系式k=f（t）；（】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）=ax³+bx²+cx，若函数在区间（-∞，-

），（1，+∞）上是增函数，在区间[-

，1]上是减函数，又f′（0）=-5，求f（x）的解析式．

题型：湖南模拟难度：| 查看答案

已知函数f(x)=ax2-ln

x+1

，g(x)=x3
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=

时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）当n≥2，，n∈N^*证明：ln

•ln

…ln

n+1

＜

•

(n!)2

．

题型：不详难度：| 查看答案

设f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为

的切线．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在区间[m，n]上单调递增，求|m-n}的取值范围；
（3）是否存在a的取值使得对于任意x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0．

题型：湖北模拟难度：| 查看答案

设x₁，x₂是f(x)=

x3+

b-1

x2+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：b＜

；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

题型：东城区一模难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

1-x

+lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[

，2]上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞

+…+

．

题型：信阳模拟难度：| 查看答案

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