题目
题型:东城区一模难度:来源:
a |
3 |
b-1 |
2 |
(Ⅰ)如果x1<2<x2<4,求f′(-2)的取值范围;
(Ⅱ)如果0<x1<2,x2-x1=2,求证:b<
1 |
4 |
(Ⅲ)如果a≥2,且x2-x1=2,x∈(x1,x2)时,函数g(x)=-f′(x)+2(x2-x)的最大值为h(a),求h(a)的最小值.
答案
由x1<2<x2<4,且a>0得
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|
f"(-2)=4a-2(b-1)+1=4a-2b+3,由(1)(2)所表示的平面区域可求得4a-2b>0,
故f"(-2)=4a-2b+3>3.
所以f"(-2)的取值范围是(3,+∞).
(Ⅱ)方程ax2+(b-1)x+1=0的两根为x1,x2,由根与系数的关系得
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由于x1x2≠0,两式相除得-(b-1)=
x1+x2 |
x1x2 |
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
x1 |
1 |
x2 |
由条件x2=x1+2可得b=ϕ(x1)=-
1 |
x1 |
1 |
x1+2 |
当x1∈(0,2)时,ϕ(x1)<ϕ(2)=
1 |
4 |
故b的取值范围是(-∞,
1 |
4 |
(Ⅲ)因为f"(x)=0的两根是x1,x2,
故可设f"(x)=a(x-x1)(x-x2),
所以g(x)=-f"(x)+2(x2-x)=-a(x-x1)(x-x2)+2(x2-x)=a(x2-x)(x-x1+
2 |
a |
由于x∈(x1,x2),
因此x2-x>0,x-x1>0,
又a≥2,可知x-x1+
2 |
a |
故g(x)=a(x2-x)(x-x1+
2 |
a |
(x2-x)+(x-x1+
| ||
2 |
1 |
a |
1 |
a |
当且仅当x2-x=x-x1+
2 |
a |
即x=x1+1-
1 |
a |
所以h(a)=a+
1 |
a |
当a∈(2,+∞)时,h"(a)=1-
1 |
a2 |
又h(a)在[2,+∞)上连续,
故h(a)在[2,+∞)上是增函数.
所以h(a)min=h(2)=
9 |
2 |
核心考点
试题【设x1,x2是f(x)=a3x3+b-12x2+x(a,b∈R,a>0)的两个极值点,f′(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)如果x1<2<x2<4,求f′(-2)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1-x |
ax |
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在[
1 |
2 |
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有lnn>
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2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
n |
(I)求λ的最大值;
(II)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于x的方程
lnx |
f(x) |
(1)求函数的单调区间;
(2)a为何值时,方程f(x)=0有三个不同的实根.
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