题目
题型:顺义区一模难度:来源:
a2 |
x |
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅲ)若对任意的x1,x2∈[1,e],(e为自然对数的底数,e≈2.718)都有f(x1)≤g(x2),求实数a的取值范围.
答案
1 |
x |
故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=0•(x-1),即y=1;
(Ⅱ)h(x)=f(x)+g(x)=x-lnx+x+
a2 |
x |
a2 |
x |
∴h′(x)=2-
a2 |
x2 |
1 |
x |
2x2-x-a2 |
x2 |
令h′(1)=0,解得a2=1,
又a>0,∴a=1,
经验证a=1符合条件.
(Ⅲ)对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≤g(x2)成立,等价于对任意的x∈[1,e]都有fmax(x)≤gmin(x)成立,
当x∈[1,e]时,f′(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
∵g′(x)=1-
a2 |
x2 |
(x-a)(x+a) |
x2 |
∴(1)若0<a≤1,g′(x)≥0,g(x)=x+
a2 |
x |
∴gmin(x)=g(1)=1+a2,
∴1+a2≥e-1,解得
e-2 |
(2)若1<a<e,
当1≤x<a时,则g′(x)=
(x-a)(x+a) |
x2 |
(x-a)(x+a) |
x2 |
∴g(x)在[1,a)上递减,在[a,e]上递增,gmin(x)=g(a)=2a≥fmax(x)=e-1,解得a≥
e-1 |
2 |
又1<a<e,∴a∈(1,e)
(3)当a≥e时,g′(x)=
(x-a)(x+a) |
x2 |
gmin(x)=g(e)=e+
a2 |
e |
综上所述a∈[
e-2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x+a2x,(其中a>0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若x=1是函数h(x)=f(x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(I)当-1<a<0时,求f(x)的单调区间;
(II)若-1<a<2(ln2-1),求证:函数f(x)只有一个零点x0,且a+1<x0<a+2;
(III)当a=-
4 |
5 |
(本题可参考数据:ln2=0.7,ln
9 |
4 |
9 |
5 |
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
x |
ex |
(2-x)ex |
e2 |
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)求证:当x>1时,f(x)>g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2).
1 |
2 |
A.(-1,1] | B.(0,1] | C.[1,+∞) | D.(0,+∞) |
1 |
2 |
(I)若曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y+1=0垂直,求a的值;
(II)讨论函数y=f(x)的单调性;
(III)当a=2时,关于x的方程f(x)=m有三个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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