已知函数f(x)=aln(x-a)-12x2+x(a＜0)．（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：海淀区二模难度：来源：

已知函数f(x)=aln(x-a)-

x2+x(a＜0)．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x₀，且a+1＜x₀＜a+2；
（III）当a=-

时，记函数f（x）的零点为x₀，若对任意x₁，x₂∈[0，x₀]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，ln

=0.8，ln

=0.59）

答案

（I）f（x）的定义域为（a，+∞）．
f′(x)=

x-a

-x+1=

-x2+(a+1)x

x-a

．
令f"（x）=0⇒x=0或x=a+1．
当-1＜a＜0时，a+1＞0，函数f（x）与f"（x）随x的变化情况如下表：

核心考点

试题【已知函数f(x)=aln(x-a)-12x2+x(a＜0)．（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

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（a，0）

（0，a+1）

a+1

（a+1，+∞）

f（x）

f"（x）

↘

极小值

↗

极大值

↘

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

已知函数f(x)=

，g(x)=

(2-x)ex

．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）＞f（2-x₂）．

函数y=

x²-lnx的单调递减区间为（　　）

A．（-1，1]

B．（0，1]

C．[1，+∞）

D．（0，+∞）

已知函数f(x)=

x2-(a+1)x+alnx．
（I）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（II）讨论函数y=f（x）的单调性；
（III）当a=2时，关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=（a+

）lnx+

-x（a＞1）．
（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞

．