题目

题型：辽宁难度：来源：

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f"（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（Ⅱ）证明：当x₀∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．

答案

（Ⅰ）y-f（x₀）=f"（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f"（x₀）．
（Ⅱ）证明：令h（x）=g（x）-f（x），则h"（x）=f"（x₀）-f"（x），h"（x₀）=0．
因为f"（x）递减，所以h"（x）递增，因此，当x＞x₀时，h"（x）＞0；
当x＜x₀时，h"（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，
可知h（x）的最小值为0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．