题目
题型:潍坊二模难度:来源:
ln(1+x) |
1+x |
(I)求实数a的值,并判断,f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),求证:0<an+1<an≤l;
(Ⅲ)在(II)的条件.下,记sn=
a1 |
1+a1 |
a1.a2 |
(1+a1)(1+a2) |
a1.a2…an |
(1+a1)(1+a2)…(1+an) |
答案
1-ln(1+x) |
(1+x)2 |
即f′(x)=1-
1-ln(1+x) |
(1+x)2 |
(1+x)2-1+ln(1+x) |
(1+x)2 |
x2+x+ln(1+x) |
(1+x)2 |
因为x≥0,所以ln(1+x)≥0,x2+x≥0,所以此时f"(x)≥0,即函数在[0,+∞)上单调递增.
(Ⅱ) 由(I)知f(x)=x-
ln(1+x) |
1+x |
ln(1+an) |
1+an |
①当n=1时,an=1>0,成立.
②假设当n=k,(n∈N•)时ak>0.因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(ak)>f(0)=0,所以an+1=f(an)>0成立.
综上an>0.又an-an+1=
ln(1+an) |
an |
ln(1+an) |
1+an |
而a1=1,所以0<an+1<an≤l成立.
所以由①②可知0<an+1<an≤l成立.
(Ⅲ)由(II)知,0<an+1<an≤l,所以
1 |
an |
1 |
an+1 |
1 |
an |
1 |
an+1 |
1+an |
an |
1+an+1 |
an+1 |
an |
1+an |
an+1 |
1+an+1 |
所以
a1⋅a2⋅⋅⋅an |
(1+a1)(1+a2)⋅⋅⋅(1+an) |
a1 |
1+a1 |
a2 |
1+a2 |
an |
1+an |
a1 |
1+a1 |
a1 |
1+a1 |
a1 |
1+a1 |
a1 |
1+a1 |
所以sn=
a1 |
1+a1 |
a1.a2 |
(1+a1)(1+a2) |
a1.a2…an |
(1+a1)(1+a2)…(1+an) |
<(
a1 |
1+a1 |
a1 |
1+a1 |
a1 |
1+a1 |
| ||||
1-
|
| ||
1-
|
所以sn<1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax-ln(1+x)1+x在x=0处取得极值.(I)求实数a的值,并判断,f(x)在[0,+∞)上的单调性;(Ⅱ)若数列{an}满足a1=1,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
8 |
(1)求f(x)的最大值与最小值;
(2)若f(x)<4-at于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当k∈(
1 |
2 |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
A.f(x1)>0,f(x2)>-
| B.f(x1)<0,f(x2)<-
| ||||
C.f(x1)>0,f(x2)<-
| D.f(x1)<0,f(x2)>-
|
a |
x |
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