题目
题型:商丘二模难度:来源:
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f′(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:x1<
1 |
k |
答案
1 |
e |
∵当x∈(0,
1 |
e |
1 |
e |
∴当x=
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),F′(x)=2ax+
1 |
x |
2ax2+1 |
x |
①当a≥0时,恒有F"(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;(6分)
②当a<0时,
令F"(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<
-
|
令F"(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>
-
|
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在(0,
-
|
-
|
(3)证:k=
f′(x2)-f′(x1) |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
要证x1<
1 |
k |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
| ||
ln
|
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
则只要证1<
t-1 |
lnt |
①设g(t)=t-1-lnt(t≥1),则g′(t)=1-
1 |
t |
∴当t>1时,g(t)=t-1-lnt>g(1)=0,即t-1>lnt(t>1).
②设h(t)=tlnt-(t-1)(t≥1),则h"(t)=lnt≥0(t≥1),故h(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,h(t)=tlnt-(t-1)>h(1)=0,即t-1<tlnt(t>1).
由①②知(*)成立,得证.(14分)
核心考点
试题【设函数f(x)=xlnx(x>0).(1)求函数f(x)的最小值;(2)设F(x)=ax2+f′(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;(3)斜率为k的直线】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
lnx |
1 |
x |
m-1 |
x |
(Ⅰ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;
(Ⅱ)设h(x)=
2e |
x |
1 |
2 |
(1)令h(x)=
f(x) |
x |
(2)若对任意的e<x1<x2<e2,总有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2)成立,试求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
1 |
2 |
1 |
2 |
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由;
(Ⅲ)若任意的x1,x2∈(1,2)且x1≠x2,证明:|f(x2)-f(x1)|<
1 |
2 |
(1)若函数f(x)的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行,函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若a=1,且函数f(x)在[-1,1]上是减函数,求b的取值范围.
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