题目
题型:不详难度:来源:
a |
x |
(1)讨论函数f(x)在(0,e]上的单调性;
(2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
(3)若实数m,n满足m>0,n>0,求证:nnem≥mnen.
答案
a |
x |
a |
x2 |
1 |
x |
x-a |
x2 |
若a≤0,,则f′(x)>0,f(x)在(0,e]上单调递增;
若0<a<e,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
若a≥e,则f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减.
(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,+∞),
g′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1
=
ex |
x |
=(
1 |
x |
由(1)易知,当a=1时,f(x)=
1 |
x |
即x0∈(0,+∞)时,
1 |
x0 |
又ex0>0,∴g′(x0)=(
1 |
x0 |
曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(0)=0有实数解.
而g′(x0)>0,即方程g′(x0)=0无实数解.故不存在.
(3)证明:由(2)知
1 |
x |
令x=
n |
m |
m |
n |
n |
m |
∴ln
n |
m |
m |
n |
∴nln
n |
m |
∴(
n |
m |
∴nnem≥mnen.
核心考点
试题【已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)在(0,e]上的单调性;(2)是否】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m的值;
(Ⅲ) 求证:g(x)≥-7.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
(3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域.
A.(2,4) | B.(0,2) | C.(2,3) | D.(0,1) |
1 |
12 |
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