题目
题型:许昌二模难度:来源:
(Ⅰ)设F(x)=ax2+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(Ⅱ)若斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:x1<
1 |
k |
答案
F(x)=ax2+lnx+2(x>0),∴F′(x)=2ax+
1 |
x |
2ax2+1 |
x |
①当a≥0时,恒有F′(x)>0,故F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,
令F′(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<
-
|
令F′(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>
-
|
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在(0,
-
|
-
|
(Ⅱ)k=
f′(x2)-f′(x1) |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
要证x1<
1 |
k |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
等价于证1<
| ||
ln
|
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
则只要证1<
t-1 |
lnt |
①设g(t)=t-1-lnt(t≥1),则g′(t)=1-
1 |
t |
故g(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,g(t)=t-1-lnt>g(1)=0,即t-1>lnt(t-1)
②设h(t)=tlnt-(t-1)(t≥1),则h′(t)=lnt≥0(t≥1),
故h(t)在[1,+∞)上是增函数.
∴当t>1时,h(t)=tlnt-(t-1)>h(1)=0,即t-1(t>1).
由①②知(*)成立,故x1<
1 |
k |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x(lnx+1)(x>0).(Ⅰ)设F(x)=ax2+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;(Ⅱ)若斜率为k的直线与曲线y=f"(x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
(1)求实数a,b的值;
(2)设g(x)=f(x)+
m |
x-1 |
①求实数m的最大值;
②当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
1 |
2 |
(Ⅰ)当a=-
1 |
2 |
(Ⅱ)若a>0,讨论f(x)的单调性.
1 |
x+a |
(Ⅰ)若曲线h(x)=f(x)-g(x)在点(1,0)处的切线斜率为0,求a,b的值;
(Ⅱ)当a∈[3,+∞),且ab=8时,求函数φ(x)=
g(x) |
f(x) |
3 |
2 |
(1)求f(x)在[0,1]上的单调区间;
(2)若对任意x∈[
1 |
3 |
2 |
x |
(Ⅰ)当a=3时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
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