已知函数g（x）=lnx+ax2+bx．（a，b∈R）
（1）若关于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求b-a的值；
（2）求f（x）=g（x）-bx的单调区间；
（3）若a=b=1，y=g（x）的图象上是否存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），（其中x1≥e2x2）使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C（点C的横坐标等于PQ中点的横坐标）处的切线的斜率？ |
（1）∵关于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），
∴ax2+bx-1＜0的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），
则a＜0，1+2=，1×2=-，
∴a=-，b=，
∴b-a=2；
（2）∵f（x）=g（x）-x=lnx+ax2，（a∈R），
∴f′（x）=+2ax=，
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，
当a＜0时，f′（x）=+2ax==0，x= （x＞0）．
当x∈（0，），f′（x）≥0，
当x∈（，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．
（3）若a=b=1，假设存在这样的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），（其中x1≥e2x2），
中点C的横坐标 x0=，
∴g′(x)=+2x+1，
∵PQ的斜率等于曲线在其上一点C（点C的横坐标等于PQ中点的横坐标）处的切线的斜率，
∴g′(x0)=+2x0+1==，
即+2x0+1=| ln+(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2) | | x1-x2 |
=+(x1+x2)+1，
∴+2x0+1=+2x0+1，=，
∴=ln，∴=ln，
令t=，
∵x1≥e2x2，即t≥e2，∴=lnt，∴lnt≥2，
又=2-＜2，
∴方程=lnt，t≥e2，无解，
即满足条件的两点P，Q不存在． |
核心考点
试题【已知函数g（x）=lnx+ax2+bx．（a，b∈R）（1）若关于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求b-a的值；（2）求f（x】；主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x2+y2的最小值是______． |
定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．
（1）试求函数f（x）=x2与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．
（2）设hm（x）=-4x+m及f（x）=x2都是定义在闭区间[1，3]上，记hm（x）与f（x）的“绝对和”为Dm，如果D（m）的最小值是D（m0），则称f（x）可用hm0(x)“替代”，试求m0的值，使f（x）可用hm0(x)“替代”． |
f（x），g（x）都是定义在R上的单调递增函数，f（x）＞0，g（x）＜0，则（ ）| A．大于0，单调递增 | B．小于0，单调递减 | | C．小于0，单调递增 | D．小于0，单调性无法确定 |
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设函数f（x）=2lnx-x2．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设a∈R，讨论关于x的方程f（x）+2x2-5x-a=0的解的个数． |
函数f（x）=x3-x2-x的单调减区间是（ ）| A．（-∞，-） | B．（-，1） | C．（-∞，-），（1，∞） | D．（1，∞） |
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