定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x2+y2的最小值是______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x²+y²的最小值是______．

答案

∵f"（x）＜0，
∴该函数在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x+y）≤1=f（4），
∴x+y≥4，
设c=x²+y²，表示可行域上的点到（0，0）的距离的平方，也表示一个圆，
当x+y-4=0与这样的圆相切时，其半径最小，即可行域上的点到（0，0）的距离最小
∴c=|

0-0-4

|2=8．
故答案为：8

核心考点

试题【定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x2+y2的最小值是______．】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．
（1）试求函数f（x）=x²与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．
（2）设h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定义在闭区间[1，3]上，记h_m（x）与f（x）的“绝对和”为D_m，如果D（m）的最小值是D（m₀），则称f（x）可用hm0(x)“替代”，试求m₀的值，使f（x）可用hm0(x)“替代”．

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f（x），g（x）都是定义在R上的单调递增函数，f（x）＞0，g（x）＜0，则

f(x)

g(x)

（　　）

A．大于0，单调递增	B．小于0，单调递减
C．小于0，单调递增	D．小于0，单调性无法确定

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设函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设a∈R，讨论关于x的方程f（x）+2x²-5x-a=0的解的个数．

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函数f（x）=x³-x²-x的单调减区间是（　　）

A．（-∞，-

）

B．（-

，1）

C．（-∞，-

），（1，∞）

D．（1，∞）

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已知函数y=f（x）的定义域为R，其导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（1）求证：当x＞α时，总有x＞f（x）成立；
（2）对任意x₁、x₂若满足|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

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