题目

题型：不详难度：来源：

已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.

答案

，且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意

解析

【解】 (Ⅰ)解:因为…………………………(2分)
由；由,所以在上递增,
在上递减 …………………………………………………………………(4分)
欲在上为单调函数,则……………………………(5分)
(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)
又,所以在上的最小值为 …………………………(9分)
从而当时,,即………………………(10分)
(Ⅲ)证:因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数…………………………………………(12分)
因为,,所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解 …(13分)
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解 …………………………………(14分)
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解………………………………(15分)
综上所述,对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意……(16分)
(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)
c.o.