题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分15分)
已知函数，（），函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和最大、最小值；
（Ⅱ）求证：对于任意的，总存在，使得是关于的方程的解；并就的取值情况讨论这样的的个数。

答案

解：（Ⅰ）因为                ……1分
由；由，
所以当时，在上递增，在上递减  ……3分
因为，，，
而，                     ………………4分
所以当时，函数取最小值，………………5分
当时，函数取最大值，………………6分
（Ⅱ）因为，所以，
令，
从而把问题转化为证明方程在上有解，
并讨论解的个数       ………………7分
因为,
,………………8分
所以
①当时,，所以在上有解，且只有一解……10分
②当时,，但由于，
所以在上有解，且有两解       ……12分
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解          ……14分
综上所述,对于任意的，总存在，满足，
且当时，有唯一的适合题意；当时，有两个适合题意。
………………15分

解析

略