题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若函数,求函数的单调区间;
(Ⅱ)设直线为函数的图象上一点处的切线.证明:在区间上存在唯一的,使得直线与曲线相切.
答案
解析
解:(Ⅰ) ,
. ……………………2分
∵且,
∴,
∴函数的单调递增区间为. ……………………4分
(Ⅱ)∵ ,∴,
∴ 切线的方程为,
即, ① ……………………6分
设直线与曲线相切于点,
∵,∴,∴. ……………………8分
∴直线的方程为,
即, ② ……………………9分
由①②得 ,
∴. …………………11分
下证:在区间上存在且唯一:
由(Ⅰ)可知,在在区间上递增.
又,, ……………13分
结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一.
故结论成立. ………………14分
核心考点
举一反三
(1)若对任意,恒成立,求正实数的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当取最大值时,试讨论函数在区间上的单调性;
(3)求证:对任意的,不等式成立.
A. | B. | C. | D.(0,2) |
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令,()其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围;
(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
A. | B. | C. | D. |
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