题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分10 分）已知函数f(x)＝x³－ax²＋3x.
(1) 若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．
(2) 若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

答案

（1）最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15；（2）a≤3.

解析

第一问中(1) f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x³－5x²＋3x，f′(x)＝3x²－10x＋3.令f′(x)＝0，得x₁＝3，x₂＝ (舍去)．当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.                
(2)中 据已知：上恒成立，又f′(x)＝3x²－2ax＋3，且x≥1，
则a，∵    ∴a≤3
解：(1) f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x³－5x²＋3x，f′(x)＝3x²－10x＋3.令f′(x)＝0，得x₁＝3，x₂＝ (舍去)．当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.                
6分
(2) 据已知：上恒成立，又f′(x)＝3x²－2ax＋3，且x≥1，
则a，∵    ∴a≤3.