题目
题型:不详难度:来源:
在(-∞,-2)上为减函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若当x∈时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的值;
(3)是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数b的取值范围.
答案
(3)存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
解析
(1)求解函数的导数 f′(x)=2(1+x)-
=2·,
那么依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时,f(x)有极小值,∴f′(-2)=0.从而得到解析式。
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,易证函数在上单调递减,
因此若使原不等式恒成立只需求解其最大值m>e2-2即可.
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b即为x-b+1-ln(1+x)2=0,
要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
解 (1)∵f′(x)=2(1+x)-
=2·,
依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时,f(x)有极小值,∴f′(-2)=0.
代入方程解得a=1,
故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.
(由于x∈,故x2=-2舍去),
易证函数在上单调递减,
在[0,e-1]上单调递增,
且f()=+2,f(e-1)=e2-2>+2,
故当x∈时,f(x)max=e2-2,
因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可.
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b
即为x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
则g′(x)=1-=,
令g′(x)>0,得x<-1或x>1,
令g′(x)<0,得-1<x<1,
故g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
核心考点
试题【(本小题15分)已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.(1)求f(x)的表达式;(2)若当x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
(1)求常数a,b的值;
(2)求的单调区间.
A.(-1,2) | B. | C. | D.(-2,1) |
已知函数
(I)当时,求函数的图象在点A(0,)处的切线方程;
(II)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数,使当时恒成立?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
最新试题
- 1(1)法律。(2)漫画中父亲的行为违反了《未成年人保护法》中有关家庭保护的规定。父母不得虐待未成年人,应当以恰当的方式教
- 2水手成了最令人羡慕和尊敬的职业;罗马教廷建立了“东方事务部”“传教问题部”等海外传教机构;信贷机构,殖民贸易公司,交易所
- 3下列句子运用修辞手法与例句相同的一句是( )例:圆规很不平,显出鄙夷的神色。A.山舞银蛇,原驰蜡象。B.闪闪烁
- 4小丽站在穿衣镜前2m的地方照镜子,则镜中的像与小丽之间的距离______m,小丽后退时,镜中的像大小将______(填“
- 5某一含铜6.4克、锌6.5克、铁5.6克、铝2.7克的金属粉末混合物,与一定质量的稀硫酸反应.待反应停止后,经实验测得尚
- 6某学科在市模考后从全年级抽出100名学生的学科成绩作为样本进行分析,得到样本频率分布直方图如图所示.(1)估计该次考试该
- 7下列对这两位思想家的共同之处分析正确的是[ ]A.都批判了封建君主专制统治 B.都是工业革命之后在思想意
- 8直线y=3x+1的斜率是( )A.1B.2C.3D.4
- 9(30分)结合下列材料,回答问题:材料一 2013年广东省与全国的国有及国有控股企业发展状况项目营业收入利润总额(亿元
- 10(4分)探究“阻力对物体运动的影响”的实验装置如图所示.(1)实验时,每次必须使小车从斜面的同一高度滑下,这样做的目的是
热门考点
- 1如图是草原生态系统食物网简图,请据图回答问题.(1)依据生物学分类,若将图中的生物分为两大类,则分别是______.(2
- 2解释下列文言文划线字。①虽乘奔御风 ②选贤与能
- 3(12分)已知金属单质A是生产生活中用量最大的金属。 D是难溶于水的白色固体。 F为红褐色固体。无色气体甲遇气体丙立即生
- 4下列各句,没有语病的一句是( )A.为了避免今后再发生类似错误,我们应当吸取教训,努力改进工作。 B.老战友来拜访他
- 5已知数列是公差不为零的等差数列,数列为等比数列,若,,则等于数列中的第 项
- 6老人跌倒,扶不扶?原本无需讨论的问题,2011 年却成为社会热点的话题。某网络论坛上有些网友明确表示“肯定会扶”有些网友
- 7文艺复兴与启蒙运动是影响人类历史进程的两大运动,两者相比①都是欧洲的思想解放运动②都反对君主专制,主张君主立宪③前者侧重
- 8写作。 人口的有效控制,医疗技术的进步,中国人口老龄化问题日益凸现。根据下表提示,请以“How to solve
- 9蜜蜂蛰敌害时,会释放出一种物质,促使其它蜜蜂一起进攻敌害.蜜蜂之间的关系是( )A.竞争B.捕食C.种内互助D.种内斗
- 10《史记》载:汉武帝时,“公孙弘以《春秋》白衣为天子三公,封以平津侯。天下之学士靡然乡风矣”:该材料主要表明 [