题目
题型:不详难度:来源:
已知函数
(I)当时,求函数的图象在点A(0,)处的切线方程;
(II)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数,使当时恒成立?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
答案
(II)在,为增函数,在为减函数。
(Ⅲ)符合条件的实数不存在.
解析
(1)运用了导数的几何意义求解曲线的切线方程问题。
(2)利用导数的运算,和导数与不等式的关系,求解得到函数的单调区间。
(3)对于不等式的恒成立问题可以转化为求解新函数的最值问题,来得到参数的取值范围的求解的这样的数学思想的运用。
解(I)时,,
于是,,
所以函数的图象在点处的切线方程为
即. ………………………… ……………… 2分
(II)
=,
∵,∴ 只需讨论的符号. ……………… 4分
ⅰ)当>2时,>0,这时>0,所以函数在(-∞,+∞)上为增函数.
ⅱ)当= 2时,≥0,函数在(-∞,+∞)上为增函数.
……………… 6分
ⅲ)当0<<2时,令= 0,解得,.
当变化时,和的变化情况如下表:
| + | 0 | - | 0 | + |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
减函数……………… 8分
(Ⅲ)当∈(1,2)时,∈(0,1).由(2)知在上是减函数,在上是增函数,故当∈(0,1)时,,所以当∈(0,1)时恒成立,等价于恒成立.……10分
当∈(1,2)时,,设,则,表明g(t) 在(0,1)上单调递减,于是可得,即∈(1,2)时恒成立,因此,符合条件的实数不存在. ……………… 12分
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数(I)当时,求函数的图象在点A(0,)处的切线方程;(II)讨论函数的单调性;(Ⅲ)是否存在实数,使当时恒成立?若存在,求出实数;若】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)记函数,若的最小值是,求函数 的解析式。
(1)若函数有最大值,求实数的值;
(2)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,解不等式。
(Ⅰ)判断函数的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数、使得关于的不等式在(1,)上恒成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,试说明理由.
(1)求m的值。
(2)若在上是增函数,求实数的取值范围。
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱,其轴截面如图所示,设三个圆柱体积之和为。
(1) 求f(h)的表达式,并写出h的取值范围是 ;
(2) 求三个圆柱体积之和V的最大值;
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