题目
题型:不详难度:来源:
已知函数,其中常数.
(Ⅰ)当时,求函数的极值点;
(Ⅱ)令,若函数在区间上单调递增,求的取值范围;
(Ⅲ)设定义在D上的函数在点处的切线方程为当时,若在D内恒成立,则称P为函数的“特殊点”,请你探究当时,函数是否存在“特殊点”,若存在,请最少求出一个“特殊点”的横坐标,若不存在,说明理由.
答案
(Ⅱ) ;(Ⅲ)是一个特殊点的横坐标.
解析
(1)由于当a=4时,解析式确定,求解导数,判定单调性,可以知道函数的 极值点的问题。
(2)因为令,若函数在区间上单调递增,说明了函数F(x)在给定区间的导数恒大于等于零,来分离参数得到取值范围。
(3)根据新的定义“特殊点”的理解,然后给定参数a的值为4,结合第一问的结论,分析可知是否有满足题意的特殊点,主要是借助于导数分析单调性得到。
(Ⅰ)当时,=
当时,,即在上单调递增;
当时,,即在上单调递减,
所以为函数的极大值点,为函数的极小值点. ……4分
(Ⅱ),若函数在区间上单调递增,只需满足对恒成立 ………………6分
即对恒成立
所以 ………………………8分
(Ⅲ)由题意:当时,,
则在点P处切线的斜率
所以
………………………10分
令,
则
当时,在上单调递减.时,从而有时,
当时,在上单调递减,从而有时, ………………………12分
在上不存在“特殊点”.当时,
在上是增函数,故是一个特殊点的横坐标.
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知函数,其中常数.(Ⅰ)当时,求函数的极值点;(Ⅱ)令,若函数在区间上单调递增,求的取值范围;(Ⅲ)设定义在D上的函数在点处的切线方程为当】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当时,求的值域
(Ⅱ)设,若在恒成立,求实数a的取值范围
(III)设,若在上的所有极值点按从小到大排成一列,
求证:
已知函数 (是自然对数的底数,).
(1)当时,求的单调区间;
(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(3)证明对一切恒成立.
已知函数.
(1)当时,若函数在上为单调增函数,求的取值范围;
(2)当且时,求证:函数f (x)存在唯一零点的充要条件是;
(3)设,且,求证:<.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数有唯一的极值,且极值大于?若存在,,求的取值
范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)如果对,总有,则称是的凸
函数,如果对,总有,则称是的凹函数.当时,利用定义分析的凹凸性,并加以证明。
已知函数.
(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求 的值;
(Ⅱ) 求证:函数存在单调递减区间,并求出单调递减区间的长度 的取值范围.
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