题目

题型：不详难度：来源：

设函数（常数a,b满足0<a<1,bR）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意的，不等式｜a恒成立，求a的取值范围。

答案

（1）f(x)的单调递增区间为(a, 3a)，减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞)
（2）

解析

解  (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2,令f′(x)＞0,
得f(x)的单调递增区间为(a, 3a).
令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞),
∴当x=a时,f(x)极小值=
当x=3a时,f(x)极大值="b."
(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.∵0＜a＜1,∴a+1＞2a.
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1.
f′(x)min=f(a+2)=4a-4.于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立，
等价于　　　　　　　　　　　　　解得 
又0＜a＜1,∴