题目
题型:不详难度:来源:
设是定义在上的奇函数,函数与的图象关于轴对称,且当时,.
(I)求函数的解析式;
(II)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.
答案
(2),实数的取值范围为.
解析
(1)先利用函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称得:f(x)的图象上任意一点P(x,y)关于y轴对称的对称点Q(-x,y)在g(x)的图象上;然后再利用x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],则f(x)=g(-x)求出一段解析式,再利用定义域内有0,可得f(0)=0;最后利用其为奇函数可求x∈(0,1]时对应的解析式,综合即可求函数f(x)的解析式;
(2)先求出f(x)在(0,1]上的导函数,利用其导函数求出其在(0,1]上的单调性,进而求出其最大值,只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围
解:(1)∵的图象与的图象关于y轴对称,
∴的图象上任意一点关于轴对称的对称点在的图象上.
当时,,则. 2分
∵为上的奇函数,则. 3分
当时,,. 5分
∴ 6分
(2)由已知,.
①若在恒成立,则.
此时,,在上单调递减,,
∴的值域为与矛盾. 8分
②当时,令,
∴当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
∴. 10分
由,得.
综上所述,实数的取值范围为. 12分
核心考点
试题【(本题满分12分)设是定义在上的奇函数,函数与的图象关于轴对称,且当时,.(I)求函数的解析式;(II)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
(1)求函数在区间上的值域;
(2)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,对于任意的,函数g(x)=x3 +x2在区间上总存在极值?
(Ⅲ)当时,设函数,若在区间上至少存在一个,
使得成立,试求实数的取值范围.
A.(-3,0)∪(3,+∞) |
B.(-3,0)∪ (0,3) |
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) |
D.(-∞,-3)∪(0,3) |
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