题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)要求函数的单调区间和极值,需要求导,f(x)求导之后的结果f ′(x)=ex-2,令f ′(x)=0,得x=ln2,列出x,f ′(x),f(x)的变化情况表,根据表格写出函数的单增区间,单减区间,以及极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),没有极大值;(Ⅱ)要证明不等式,最常用的方法是构造函数g(x)=ex-x2+2ax-1,求导得g′(x)=ex-2x+2a,由题意,a>ln2-1及(Ⅰ)知,则g′(x)的最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0,因而对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增,那么当x∈(0,+∞),必有g(x)>g(0),而g(0)=0,所以ex>x2-2ax+1.
试题解析:(Ⅰ)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f ′(x)=ex-2,x∈R.
令f ′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,ln2) | ln2 | (ln2,+∞) |
f ′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 单调递减↘ | 2(1-ln2+a) | 单调递增↗ |
(Ⅱ)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(Ⅰ)知,当a>ln2-1时,g′(x)的最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,
∴g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
核心考点
试题【设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)对恒成立,求实数的取值范围.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.
(2)记函数,若的最小值是,求函数的解析式.
(1)求证:函数在上单调递增;
(2)设,,若直线轴,求两点间的最短距离.
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