题目

题型：不详难度：来源：

已知函数,().
(1)求函数的单调区间；
(2)求证:当时,对于任意,总有成立．

答案

（1）当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,；当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；（2）详见解析.

解析

试题分析：（1）对于含参数的函数的单调区间，只需在定义域内考虑导函数符号，同时要注意分类讨论标准的确定.先求，分母恒正，只需考虑分子二次函数的符号，所以讨论开口方向即可；（2）由于是独立的两个变量，故分别代表，的任意两个函数值，要使得恒成立，只需证明，分别利用导数求其最大值和最小值，从而得证，该题入手，可能很多同学困惑于这两个变量的处理，从而造成了解题障碍.
试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为,. 
当时, 
当变化时,,的变化情况如下表:

		0		0
	↘		↗		↘

当时, 
当变化时,,的变化情况如下表:

		0		0
	↗		↘		↗

综上所述,
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,; 
当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为. 
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时, 在上单调递增,;在上单调递减,且. 所以时,. 因为,所以,令,得. 
①当时,由,得;由,得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 所以. 
因为, 所以对于任意,总有. 
②当时,在上恒成立, 所以函数在上单调递增,. 
所以对于任意,仍有，综上所述,对于任意,总有